Решение кратко.
1) Подставим $x=y=0$: $f(0)=f(0{)}^2$, значит либо $f(0)=0$, либо $f(0)=1$.
2) Если $f(0)=0$, то для любого $x$ имеем $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0$. Значит одна функция — тождественно нулевая: $f(x)\equiv 0$.
3) Пусть $f(0)=1$. Тогда из $f(x)=f(x/2{)}^2$ следует $f(x)\ge 0$. Если для какого‑то $x_0$ $f(x_0)=0$, то как в п.2 получаем тождественный ноль, против предположения. Значит для ненулевого случая $f(x)>0$ при всех $x$. Можно ввести $g(x)=\ln f(x)$. Тогда
$$g(x+y)=\ln f(x+y)=\ln (f(x)f(y))=g(x)+g(y),$$ т.е. $g$ удовлетворяет аддитивному уравнению Коши.
4) Условие непрерывности $f$ в нуле даёт $f(h)\to 1$ при $h\to 0$, откуда $g(h)=\ln f(h)\to 0$. То есть $g$ непрерывна в нуле. Из общеизвестного факта о решениях уравнения Коши: аддитивная функция, непрерывная в одной точке, линейна, то есть существует константа $c$ такая, что
$$g(x)=cx\text{для всех}x.$$ Следовательно
$$f(x)=e^{g(x)}=e^{cx}.$$
Итого все решения: либо $f(x)\equiv 0$, либо $f(x)=e^{cx}$ для некоторого $c\in \mathbb{R}$.
Роль условия непрерывности в нуле: оно исключает патологические (непрерывные нигде) аддитивные функции $A(x)$, дающие решения вида $f(x)=e^{A(x)}$. Без условия непрерывности общая форма ненулевых решений — $f(x)=\exp (A(x))$, где $A$ — любая аддитивная функция (в том числе ненепрерывная).