Недостающий шаг: в рассуждении нужно сразу взять дробь в несократимом виде, т.е. предположить, что если $\sqrt{2}$ рационально, то $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ для целых $a,b>0$ и $\gcd (a,b)=1$. Это исключает тривиальный случай, когда и числитель, и знаменатель делятся на $2$.
Исправленное доказательство (контрпримера от противного):
1. Предположим, что $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ при целых $a,b>0$ и $\gcd (a,b)=1$.
2. Возведём в квадрат: $2=\frac{a^2}{b^2}$, значит $a^2=2b^2$.
3. Из $a^2=2b^2$ следует, что $a^2$ чётно, значит $a$ чётно. Значит существует целое $k$ такое, что $a=2k$.
4. Подставим: $(2k{)}^2=2b^2\Rightarrow 4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2$. Отсюда $b^2$ чётно, значит $b$ чётно.
5. Получили, что и $a$, и $b$ чётны, т.е. оба делятся на $2$. Тогда $\gcd (a,b)\ge 2$, что противоречит предположению $\gcd (a,b)=1$.
Следовательно исходное предположение ложно, и $\sqrt{2}$ иррационально.