Кратко — основные достаточные условия и простой контрпример.
Условия (достаточные):
- Тонелли (неотрицательные функции). Если $f_n\ge 0$ измеримы, то всегда
$$\int \sum _{n=1}^{\infty }{f}_n=\sum _{n=1}^{\infty }\int f_n$$ (оба значения могут быть равны $+\infty$).
- Доминированная сходимость (через частичные суммы). Пусть каждое $f_n$ измеримо и частичные суммы $S_N={\sum }_{n=1}^N{f}_n$ сходятся почти всюду к $S$. Если существует интегрируемая функция $g$ такая, что для всех $N$ и почти всех $x$ $$|S_N(x)|\le g(x),$$ то по теореме о доминированной сходимости
$$\int S=\underset{N\to \infty }{\lim }\int S_N=\sum _{n=1}^{\infty }\int f_n.$$
- Абсолютная сходимость в $L^1$. Если ${\sum }_{n=1}^{\infty }\int |f_n|<\infty$, то частичные суммы доминируются суммой абсолютных значений, и
$$\int \sum _{n=1}^{\infty }{f}_n=\sum _{n=1}^{\infty }\int f_n.$$
- Равномерная сходимость (в случае Римана/Лебега на множестве конечной меры). Если $\sum f_n$ сходится равномерно на множестве конечной меры и все $f_n$ интегрируемы, то интеграл ряда равен сумме интегралов.
Замечание: для знакопеременных/условно сходящихся рядов без доминирующего мажоранта перестановка суммы и интеграла может быть недопустима.
Пример, где перестановка (в смысле предела и интеграла) даёт ошибку (простой и стандартный — для предела, но иллюстрирует причину для рядов). На отрезке $[0,1]$ положим
$$f_n(x)=n\cdot 1_{(0,1/n)}(x).$$ Тогда для каждого фиксированного $x>0$ при больших $n$ имеем $f_n(x)=0$, следовательно $f_n(x)\to 0$ почти всюду, но
$${\int }_0^1{f}_n(x)dx=n\cdot \frac{1}{n}=1\text{для всех}n.$$ Имеем
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n(x)dx=1\ne 0={\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)dx.$$ Причина — отсутствует интегрируемый доминирующий мажорант, и сходимость неравномерна.
Аналогично для рядов: без условий типа неотрицательности, доминирования или абсолютной сходимости перестановка суммирования и интегрирования может привести к ошибке (примерно: можно сконструировать условно сходящиеся серии функций, у которых сумма интегралов и интеграл суммы не совпадают).
Итого: чтобы можно было записать
$$\sum _{n=1}^{\infty }\int f_n=\int \sum _{n=1}^{\infty }{f}_n,$$ достаточно (и практически достаточно в задачах) проверить одно из условий: $f_n\ge 0$ (Tonelli), либо $\sum \int |f_n|<\infty$ (абсолютная сходимость в $L^1$), либо существование интегрируемого мажоранта для частичных сумм (доминированная сходимость), либо равномерная сходимость ряда.