Задание на комбинаторику: сколько существует различных способов выбрать ненулевой подпространство размерности k в векторном пространстве размерности n над конечным полем GF(q)? Опишите вывод формулы и объясните смысл q-аналога биномиального коэффициента
Задание на комбинаторику: сколько существует различных способов выбрать ненулевой подпространство размерности k в векторном пространстве размерности n над конечным полем GF(q)? Опишите вывод формулы и объясните смысл q-аналога биномиального коэффициента
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Количество ненулевых подпространств размерности kkk в nnn-мерном пространстве над GF(q)\mathrm{GF}(q)GF(q) равно гауссову (q-)биномиальному коэффициенту
[nk]q=∏i=0k−1(qn−qi)∏i=0k−1(qk−qi). \begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q
= \frac{\prod_{i=0}^{k-1}(q^n-q^i)}{\prod_{i=0}^{k-1}(q^k-q^i)}.
[nk ]q =∏i=0k−1 (qk−qi)∏i=0k−1 (qn−qi) .
Краткий вывод:
- Число упорядоченных наборов из kkk линейно независимых векторов в V=GF(q)nV=\mathrm{GF}(q)^nV=GF(q)n равно
(qn−1)(qn−q)⋯(qn−qk−1)=∏i=0k−1(qn−qi). (q^n-1)(q^n-q)\cdots(q^n-q^{k-1})=\prod_{i=0}^{k-1}(q^n-q^i).
(qn−1)(qn−q)⋯(qn−qk−1)=i=0∏k−1 (qn−qi). - В каждом фиксированном kkk-мерном подпространстве есть столько же упорядоченных баз, сколько в самом GF(q)k\mathrm{GF}(q)^kGF(q)k, а это
(qk−1)(qk−q)⋯(qk−qk−1)=∏i=0k−1(qk−qi). (q^k-1)(q^k-q)\cdots(q^k-q^{k-1})=\prod_{i=0}^{k-1}(q^k-q^i).
(qk−1)(qk−q)⋯(qk−qk−1)=i=0∏k−1 (qk−qi). - Делением получаем число различных (неупорядоченных) kkk-подпространств, то есть формулу выше.
Эквивалентная запись (сокращённая) после вынесения степеней qqq:
[nk]q=∏i=0k−1q n−i−1q k−i−1. \begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\prod_{i=0}^{k-1}\frac{q^{\,n-i}-1}{q^{\,k-i}-1}.
[nk ]q =i=0∏k−1 qk−i−1qn−i−1 .
Смысл q-аналога биномиального коэффициента:
- [nk]q\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q[nk ]q — это "количество способов выбрать k-мерную линейную структуру" векторного пространства, аналогично тому, как (nk)\binom{n}{k}(kn ) — количество k-элементных подмножеств множества из nnn элементов.
- При предельном переходе q→1q\to1q→1 гауссов коэффициент обращается в обычный биномиальный коэффициент:
limq→1[nk]q=(nk). \lim_{q\to1}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\binom{n}{k}.
q→1lim [nk ]q =(kn ). - Поэтому [nk]q\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q[nk ]q называют q-аналoгом (или Gaussian binomial coefficient).
Небольшой пример: число одномерных подпространств в GF(q)3\mathrm{GF}(q)^3GF(q)3 равно
q3−1q−1=1+q+q2, \frac{q^3-1}{q-1}=1+q+q^2,
q−1q3−1 =1+q+q2, что соответствует числу различных прямых через начало.