Утвердение. Для положительных чисел $a_1,\dots ,a_n>0$ справедливо
$$\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\ge (a_1\cdots a_n{)}^{1/n},$$ и равенство тогда и только тогда, когда $a_1=\cdots =a_n$.
Приведу несколько кратких доказательств и отмечу, где каждое удобно.
1) Двухэлементное доказательство (классика). Для $a,b>0$ имеем $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$, откуда
$$a+b\ge 2\sqrt{ab}\Rightarrow \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$ Это удобно как базовый шаг и для задач, где только два числа.
2) Повторное применение двоичного шага (метод «усреднения пар»). Если неравенство верно для $n$ чисел, то для $2n$ чисел группируем их попарно, заменяем каждую пару на их среднее и применяем предположение к $n$ средним; в результате получаем неравенство для $2n$. Подставив при необходимости повторения, получаем случай общего $n$. Удобно для элементарного вывода для произвольного конечного $n$ через случай $2^k$.
3) Через выпуклость/выпуклую функцию $\exp$ (или выпуклость/вогнутость $\ln$). Пусть $x_i=\ln a_i$. Так как $e^x$ — выпуклая функция, по неравенству Йенсена
$$\exp \left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\le \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\exp (x_i),$$ то, вернув $x_i=\ln a_i$,
$$(a_1\cdots a_n{)}^{1/n}\le \frac{a_1+\cdots +a_n}{n}.$$ Этот подход удобен при обобщениях (весовые средние, непрерывные версии) и даёт краткое доказательство через свойство выпуклых функций.
4) Через вогнутость логарифма (обратный взгляд). Функция $\ln$ вогнута, поэтому
$$\ln \left(\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\right)\ge \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\ln a_i.$$ Экспоненцируя, получаем искомое. Удобен, когда работают с произведениями и логарифмами (например, при задачах оптимизации).
5) Через метод Лагранжа (оптимизация при фиксированном произведении). Рассмотрим минимум $\frac{1}{n}\sum a_i$ при фиксированном произведении $P=a_1\cdots a_n$. По симметрии и условиям стационарности получаем $a_1=\cdots =a_n$, значит минимум равен $(P{)}^{1/n}$. Отсюда AM $\ge$ GM. Удобно, если задача формулируется как экстремум с ограничением.
6) Весовое AM–GM (Young/неравенство Гёльдера). В более общей форме, для весов ${\lambda }_i\ge 0$, $\sum {\lambda }_i=1$,
$$\prod _{i=1}^n{a}_i^{{\lambda }_i}\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i.$$ Взяв ${\lambda }_i=1/n$ получаем обычное AM–GM. Этот вариант удобен для задач с неравными весами или при переходе к теории неравенств.
Краткое сопоставление удобств:
- Простые алгебраические доказательства (1,2) — понятны и полезны в школьных задачах.
- Доказательства через выпуклость/Йенсена (3,4) — короче и мощнее для обобщений (весовые версии, интегральные аналоги).
- Лагранж и весовые формулировки — удобны при оптимизации и в теории неравенств.
Все эти доказательства приводят к единому условию равенства: $a_1=\cdots =a_n$.