Короткий ответ: да, в конечномерном евклидовом пространстве любые два непараллельных вектора можно дополнить до ортонормированного базиса; это делается стандартной процедурой Грамма–Шмидта. Ниже — доказательство для двух векторов, общая схема Грамма–Шмидта и её ограничения.
Доказательство для двух непараллельных векторов.
- Пусть даны $v_1,v_2\in V$ (евклидово пространство), $v_1$ и $v_2$ непараллельны, т.е. лин. независимы.
- Нормируем первый вектор: $e_1=\frac{v_1}{\Vert v_1\Vert }$.
- Устраняем компоненту $v_2$ вдоль $e_1$: $$w_2=v_2-⟨v_2,e_1⟩e_1.$$ Поскольку $v_2$ не параллелен $v_1$, получаем $w_2\ne 0$.
- Нормируем: $e_2=\frac{w_2}{\Vert w_2\Vert }$.
Тогда $⟨e_1,e_2⟩=0$, $\Vert e_1\Vert =\Vert e_2\Vert =1$, и $\mathrm{span}\{e_1,e_2\}=\mathrm{span}\{v_1,v_2\}$.
- Дальше, если нужно получить полный ортонормированный базис в $n$-мерном пространстве, добавляют $n-2$ линейно независимых векторов и применяют тот же процесс: полученная система $e_1,\dots ,e_n$ будет ортонормальной и является базисом.
Общая схема Грамма–Шмидта.
- Пусть дана линейно независимая последовательность $v_1,\dots ,v_k$. Процесс:
$$u_1=v_1,e_1=\frac{u_1}{\Vert u_1\Vert },$$ для $m\ge 2$ $$u_m=v_m-\sum _{j=1}^{m-1}\frac{⟨v_m,e_j⟩}{⟨e_j,e_j⟩}{e}_j$$ (обычно $⟨e_j,e_j⟩=1$), затем $e_m=\frac{u_m}{\Vert u_m\Vert }$, если $u_m\ne 0$.
- В результате получаем ортонормальную систему $e_1,\dots ,e_k$ с тем же линейным покрытием: $\mathrm{span}\{e_1,\dots ,e_k\}=\mathrm{span}\{v_1,\dots ,v_k\}$.
Ограничения и замечания.
- Необходимое условие: исходные векторы должны быть линейно независимы; при зависимости на каком‑то шаге получится $u_m=0$ и его нельзя нормировать — нужно убрать зависимый вектор.
- Численная нестабильность: при вычислениях в машинной арифметике классическая процедура теряет ортогональность; применяют модифицированную схему Грамма–Шмидта или другие методы (QR по Хаусхолдеру) для устойчивости.
- Бесконечномерный случай: в разделе про гильбертовы пространства ортонормальную систему можно расширить до максимальной ортонормальной системы (ортонормального базиса) с помощью леммы Цорна; но прямое применение пошаговой схемы Грамма–Шмидта ограничено (требуется счётная последовательность стартовых векторов; для неконечных/нессчётных множеств нужен более абстрактный подход). Кроме того, в бесконечномерных пространствах различают ортонормальный (Гильбертов) базис и Гэмелев базис — их свойства отличаются.
- Специальные случаи: если один из векторов нулевой или оба параллельны, построить два ортонормальных вектора, дающих ту же плоскость, нельзя (для нуля — тривиально; для параллельных — они линейно зависимы).
Итого: в любом конечномерном евклидовом пространстве два непараллельных вектора можно дополнить до ортонормированного базиса стандартной процедурой Грамма–Шмидта; при численных вычислениях и в бесконечномерном контексте имеется ряд технических ограничений и уточнений.