Ответ: ряд
${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ сходится тогда и только тогда, когда $p>1$.
Обоснование с использованием интегрального признака:
1) Рассмотрим функцию
$$f(x)=\frac{1}{x(\ln x{)}^p},x\ge 2.$$ Она положительна и для достаточно больших $x$ монотонно убывает. Действительно,
$$f^{\prime }(x)=-x^{-2}(\ln x{)}^{-p-1}(\ln x+p),$$ поэтому для $x>e^{-p}$ имеем $f^{\prime }(x)<0$ (т.е. убывает вхолостую с некоторого места), что достаточно для применения интегрального признака.
2) Применим замену $t=\ln x$ (тогда $dt=dx/x$):
$${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^p}={\int }_{\ln 2}^{\infty }{t}^{-p}dt.$$ - Если $p=1$, то ${\int }_{\ln 2}^{\infty }{t}^{-1}dt=\infty$ — расходится.
- Если $p\ne 1$, то
$${\int }_{\ln 2}^{\infty }{t}^{-p}dt={\left[\frac{t^{1-p}}{1-p}\right]}_{\ln 2}^{\infty }.$$ При $p>1$ показатель $1-p<0$, предел при $t\to \infty$ равен $0$, поэтому интеграл конечен и равен $\frac{(\ln 2{)}^{1-p}}{p-1}$. При $p<1$ интеграл расходится (предел стремится к $\infty$).
По интегральному признаку поведение интеграла и ряда совпадает, следовательно ряд сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$.
Короткое альтернативное подтверждение (Коши — конденсация): для убывающей последовательности $a_n=\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ $$\sum _{n=2}^{\infty }{a}_n\text{и}\sum _{k=1}^{\infty }{2}^k{a}_{2^k}=(\ln 2{)}^{-p}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^p}$$ одновременной сходимости; правая сумма — ряд p-сил (сходится лишь при $p>1$). Это даёт ту же критическую точку $p=1$.