Пример ошибки: возьмём неравенство $\frac{x+1}{x-2}>0$. Ученик взял и умножил обе части на $x-2$, не проверив знак, и получил $x+1>0\Rightarrow x>-1$ — это неверно.
Правильное решение (разбить на случаи):
1. Учесть, что $x\ne 2$ (знаменатель не равен нулю). Критические точки: $x=-1$ (нулевая точка числителя) и $x=2$.
2. Рассмотреть два случая по знаку множителя $x-2$:
- Если $x>2$ (тогда $x-2>0$), при умножении знак не меняется: $x+1>0\Rightarrow x>-1$. Совместно с $x>2$ даёт $x>2$.
- Если $x<2$ (тогда $x-2<0$), при умножении знак меняется: $x+1<0\Rightarrow x<-1$. Совместно с $x<2$ даёт $x<-1$.
3. Итого решение: $x\in (-\infty ,-1)\cup (2,\infty )$.
Альтернативно: перенести в одну дробь и исследовать знак дроби
$\frac{x+1}{x-2}>0$ — определить знаки числителя и знаменателя на интервалах, выделенных точками $-1$ и $2$, или составить таблицу знаков.
Общее правило: никогда не делите и не умножайте на выражение, знак которого неизвестен, без разбиения на случаи по его знаку; всегда исключайте значения, обнуляющие знаменатель.