Для доказательства возрастания функции f(x) на всей числовой прямой R, необходимо показать, что ее производная f'(x) больше нуля для всех x.

Вычислим производную функции f(x):
f(x) = cos(4-2x) + 4x

f'(x) = -2sin(4-2x) - 4

Теперь покажем, что f'(x) больше нуля для всех x.

-2sin(4-2x) - 4 > 0
-2sin(4-2x) > 4
sin(4-2x) < -2

Так как sin(x) принимает значения от -1 до 1, то неравенство sin(4-2x) < -2 невозможно выполнить. Следовательно, производная f'(x) всегда больше нуля для всех x, что и означает, что функция f(x) = cos(4-2x) + 4x возрастает на всей числовой прямой R.