Докажем это с помощью теоремы об остатках.
Заметим, что 7^33 = (7^2)^16 7 = 49^16 7, а также 7^31 = 7 (7^2)^15 = 7 49^15.
Теперь рассмотрим выражение 7^33 + 7^31:7^33 + 7^31 = 49^16 7 + 7 49^15 = 7(49^16 + 49^15).
Заметим, что 49 = 50 - 1. Тогда 49^2 = (50 - 1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401 = 2400 + 1.
Таким образом, получаем, что 49^16 = (50 - 1)^16 = (2400 + 1)^8 = 2400 C32^0 + 1 C32^1 = 2400 + 32.
И также получаем, что 49^15 = (50 - 1)^15 = (2400 + 1)^7 = 2400 C31^0 + 1 C31^1 = 2400 + 31.
Теперь подставляем найденные значения обратно в наше выражение:7(49^16 + 49^15) = 7(2400 + 32 + 2400 + 31) = 7(4800 + 63).7(4800 + 63) = 7 * 4863 = 34041.
Таким образом, мы видим, что 7^33 + 7^31 делится на 50 без остатка, так как 34041 делится на 50.
Докажем это с помощью теоремы об остатках.
Заметим, что 7^33 = (7^2)^16 7 = 49^16 7, а также 7^31 = 7 (7^2)^15 = 7 49^15.
Теперь рассмотрим выражение 7^33 + 7^31:
7^33 + 7^31 = 49^16 7 + 7 49^15 = 7(49^16 + 49^15).
Заметим, что 49 = 50 - 1. Тогда 49^2 = (50 - 1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401 = 2400 + 1.
Таким образом, получаем, что 49^16 = (50 - 1)^16 = (2400 + 1)^8 = 2400 C32^0 + 1 C32^1 = 2400 + 32.
И также получаем, что 49^15 = (50 - 1)^15 = (2400 + 1)^7 = 2400 C31^0 + 1 C31^1 = 2400 + 31.
Теперь подставляем найденные значения обратно в наше выражение:
7(49^16 + 49^15) = 7(2400 + 32 + 2400 + 31) = 7(4800 + 63).
7(4800 + 63) = 7 * 4863 = 34041.
Таким образом, мы видим, что 7^33 + 7^31 делится на 50 без остатка, так как 34041 делится на 50.