Теорема: В любом треугольнике сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны.

Доказательство: Пусть у нас есть треугольник ABC с сторонами a, b и c. Предположим, что это неравенство не выполняется, то есть a + b ≤ c, b + c ≤ a и a + c ≤ b.

Так как a + b ≤ c, то a < c - b
Так как b + c ≤ a, то b < a - c
Так как a + c ≤ b, то c < b - a

Теперь сложим эти три неравенства:
a < c - b
b < a - c
c < b - a

a + b + c < 0

Однако сумма длин сторон треугольника всегда положительна. Полученное противоречие означает, что предположение неверно и наше неравенство действительно выполняется. Теорема доказана.