Докажем это равенство сначала для n = 1:

12 = (1-1)1(1+1)/3 = 02/3 = 0, верно.

Теперь допустим, что это верно для некоторого k, то есть:

12 + 23 + ... + (k-1)k = (k-1)k*(k+1)/3

Для n = k+1, добавляем слагаемое k*(k+1):

12 + 23 + ... + (k-1)k + k(k+1) = (k-1)k(k+1)/3 + k*(k+1)

Раскроем скобки и преобразуем:

(k-1)k(k+1)/3 + k(k+1) = (k-1)k(k+1)/3 + 3k(k+1)/3
= [(k-1)k + 3k](k+1)/3
= (k^2 - k + 3k)(k+1)/3
= (k^2 + 2k)(k+1)/3
= k(k+1)(k+2)/3

Таким образом, равенство доказано методом математической индукции для всех натуральных чисел n.