Для нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции f(x) = 16/x - x^2 + 9, нужно вычислить производную и приравнять её к нулю.

f'(x) = -16/x^2 - 2x

Теперь приравняем производную к нулю:

-16/x^2 - 2x = 0

-16 - 2x^3 = 0

16 = 2x^3

x^3 = 8

x = 2

Таким образом, точка x = 2 является кандидатом на экстремум.

Теперь исследуем интервалы монотонности:

Проверим интервал (-∞, 2): возьмем x = 1 (0 < 2), после подстановки получим f'(1) = -16 - 2 < 0, значит функция убывает.

Проверим интервал (2, +∞): возьмем x = 3 (3 > 2), после подстановки получим f'(3) = -16/9 - 6 > 0, значит функция возрастает.

Теперь найдем экстремумы:

f''(x) = 32/x^3 - 2

f''(2) = 32/8 - 2 = 2 > 0

Следовательно, точка x = 2 является локальным минимумом функции.

Итак, интервалы монотонности функции f(x) = 16/x - x^2 + 9: (-∞, 2) - убывает, (2, +∞) - возрастает. Локальный минимум достигается в точке x = 2.