Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой тангенса суммы углов:

tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα * tgβ)

Применяя данную формулу к тождеству tg(х + П) + 3tg(3П - x) = 4, получаем:

tg(х + П) = (tgx + tgП) / (1 - tgx tgП)
tg(3П - x) = (tg3П - tgx) / (1 + tg3П tgx)

Заменим tgП и tg3П на их значения, учитывая что tgП = 0 и tg3П = 0:

tg(х + П) = tgx
tg(3П - x) = -tgx

Подставляя полученные значения в исходное тождество, получаем:

tgx + 3*(-tgx) = 4
tgx - 3tgx = 4
-2tgx = 4
tgx = -2

Таким образом, доказано исходное тождество tg(х + П) + 3tg(3П - x) = 4.