Для начала найдем длину основания AC равнобедренного треугольника ABC. Известно, что угол при основании треугольника равен 30^0, а сумма углов треугольника равна 180^0. Тогда другие два угла треугольника равны 75^0. Так как треугольник равнобедренный, то у него также равны две боковые стороны AB и AC. Поскольку угол при вершине треугольника (угол A) равен 30^0, то угол между сторонами AB и AC равен 75^0.

Для нахождения длины AC воспользуемся формулой косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC cos(75^0)
AC^2 = 6^2 + BC^2 - 2 6 BC cos(75^0)
AC^2 = 36 + BC^2 - 12BC * (sqrt(3) + 1) / 2
AC^2 = 36 + BC^2 - 6sqrt(3)BC - 6BC

Так как стороны AB и AC равны, то получаем уравнение:
BC^2 - 6sqrt(3)BC - 6BC + 36 = 0
BC = (6sqrt(3) ± sqrt((6sqrt(3))^2 - 4 6 36)) / 2
BC = 3(sqrt(3) - 1)

Теперь найдем высоту треугольника BH, проведенную из вершины A к основанию С. Так как треугольник ABC является равнобедренным, то точка H является серединой основания AC. Тогда BH будет равна половине длины основания AC:
BH = AC / 2
BH = 3(sqrt(3) - 1) / 2

Итак, высота BH равна 3(sqrt(3) - 1) / 2.