Для начала найдем длины сторон треугольника. Пусть x - множитель, тогда длины сторон будут равны:
4x, 5x, 7x

Из условия известно, что периметр треугольника равен 48 см:
4x + 5x + 7x = 48
16x = 48
x = 3

Таким образом, длины сторон треугольника равны:
4x = 12 см
5x = 15 см
7x = 21 см

Теперь найдем длину средней линии треугольника, соединяющей две стороны с наибольшей длиной. Эта линия делит треугольник на два треугольника: прямоугольный и прямоугольный трапецию. Чтобы найти длину средней линии, воспользуемся формулой:
средняя линия = 1/2 * (сторона, соединяющая две наибольшие стороны) + (высота прямоугольного трапеции)

Сначала найдем сторону треугольника, соединяющую две наибольшие стороны (в данном случае 15 и 21):
сторона, соединяющая две наибольшие стороны = 21 - 15 = 6 см

Теперь найдем высоту прямоугольного трапеции, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике со сторонами 4 см, 6 см и h:
(4^2 + h^2) = 6^2
16 + h^2 = 36
h^2 = 20
h = √20 = 2√5 см

Теперь найдем длину средней линии:
средняя линия = 1/2 * 6 + 2√5 = 3 + 2√5 ≈ 7.47 см

Таким образом, длина средней линии треугольника, которая соединяет две стороны с наибольшей длиной, равна примерно 7.47 см.