Докажите, что B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) ⇒ A = ∅. Докажите, что B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) ⇒ A = ∅. (Подсказка. Доказывайте от противного: предположите, что существует x ∈ A. Рассмотрите два случая: a) x ∉ B и b) x ∈ B и придите в обоих случаях к противоречию. Это покажет, что A = ∅.)
Мое решение:
а) Предположим, что x ∉ B, значит x ∉ ¬A и x ∈ ¬B, тогда
x ∉ (¬A ∩ B) и x ∈ (¬B ∩ A), следовательно (¬A ∩ B)∪ (¬B ∩ A)=
= (¬B ∩ A) = A, что противоречит исходному утверждению.
б) Предположим, что x ∈ B, значит x ∉ ¬A и x ∉ ¬B, тогда (¬A ∩ B)=
=B и (¬B ∩ A)=A, следовательно (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) = (B ∩ A) ≠B, что противоречит исходному утверждению.
Результат обоих предположений противоречит начальному условию, делаем вывод: A = ∅, что и требовалось доказать.
Оно неверное. Не могу понять, как иначе это доказывается. Может нужно рассмотреть такую противоположность: ¬B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) ⇒ ¬A = ∅?
Докажите, что B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) ⇒ A = ∅. Докажите, что B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) ⇒ A = ∅. (Подсказка. Доказывайте от противного: предположите, что существует x ∈ A. Рассмотрите два случая: a) x ∉ B и b) x ∈ B и придите в обоих случаях к противоречию. Это покажет, что A = ∅.)
Мое решение:
а) Предположим, что x ∉ B, значит x ∉ ¬A и x ∈ ¬B, тогда
x ∉ (¬A ∩ B) и x ∈ (¬B ∩ A), следовательно (¬A ∩ B)∪ (¬B ∩ A)=
= (¬B ∩ A) = A, что противоречит исходному утверждению.
б) Предположим, что x ∈ B, значит x ∉ ¬A и x ∉ ¬B, тогда (¬A ∩ B)=
=B и (¬B ∩ A)=A, следовательно (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) = (B ∩ A) ≠B, что противоречит исходному утверждению.
Результат обоих предположений противоречит начальному условию, делаем вывод: A = ∅, что и требовалось доказать.
Оно неверное. Не могу понять, как иначе это доказывается. Может нужно рассмотреть такую противоположность: ¬B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) ⇒ ¬A = ∅?
Мое решение:
а) Предположим, что x ∉ B, значит x ∉ ¬A и x ∈ ¬B, тогда
x ∉ (¬A ∩ B) и x ∈ (¬B ∩ A), следовательно (¬A ∩ B)∪ (¬B ∩ A)=
= (¬B ∩ A) = A, что противоречит исходному утверждению.
б) Предположим, что x ∈ B, значит x ∉ ¬A и x ∉ ¬B, тогда (¬A ∩ B)=
=B и (¬B ∩ A)=A, следовательно (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) = (B ∩ A) ≠B, что противоречит исходному утверждению.
Результат обоих предположений противоречит начальному условию, делаем вывод: A = ∅, что и требовалось доказать.
Оно неверное. Не могу понять, как иначе это доказывается. Может нужно рассмотреть такую противоположность: ¬B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) ⇒ ¬A = ∅?
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Давайте докажем утверждение от противного: предположим, что ¬B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A), но A ≠ ∅. Это значит, что существует элемент x ∈ A. Рассмотрим два случая:
а) Если x ∉ B, то x ∈ ¬B. Поскольку x ∈ A, получаем x ∈ ¬B ∩ A. Но тогда x ∉ ¬A ∩ B, так как x ∈ A и x ∉ B. Это противоречит предположению ¬B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A).
б) Если x ∈ B, то x ∉ ¬A. Это значит, что x ∉ ¬A ∩ B. Но так как x ∈ B и x ∈ A, то x ∈ ¬B ∩ A. Опять же получаем противоречие.
Таким образом, если предположить, что ¬B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A), но A ≠ ∅, то мы приходим к противоречию. Следовательно, исходное утверждение верно: ¬B = (¬A ∩ B) ∪ (¬B ∩ A) ⇒ A = ∅.