Для нахождения объема треугольной пирамиды, используем формулу:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Так как пирамида правильная, то ее основание - равносторонний треугольник, а значит площадь основания можно найти по формуле:

S = a^2 * sqrt(3) / 4,

где а - длина стороны основания.

Из условия задачи мы знаем, что апофема (радиус вписанной окружности) равна 4 см. Из свойств равностороннего треугольника, мы можем найти длину стороны основания:

a = 2 * R,

a = 2 * 4 = 8 см.

Также известно, что угол при основании пирамиды равен 60 градусов, значит, высота пирамиды можно найти по формуле:

h = a * sqrt(3) / 2,

h = 8 sqrt(3) / 2 = 4 sqrt(3) см.

Итак, подставляем все значения в формулу для объема:

V = (1/3) (8^2 sqrt(3) / 4) (4 sqrt(3)) = 128 см^3.

Ответ: объем треугольной пирамиды равен 128 см^3.