Для доказательства, что данное выражение является числом иррациональным, предположим обратное - что данное выражение является рациональным числом.

Представим данное выражение в следующем виде:

4 + 4 3√7 - 2 3√7 + 2

Умножим числа на соответствующие коэффициенты:

4 + 12√7 - 6√7 + 2

Упростим выражение:

4 + 6√7 + 2

Складываем числа:

6√7 + 6

Поскольку иррациональное число не может быть представлено в виде дроби, и если данное выражение было бы рациональным, то √7 также должен был бы быть рациональным числом (так как рациональное число допускает представление в виде дроби), что противоречит определению иррационального числа.

Следовательно, исходное выражение 4 + 4 3√7 - 2 3√7 + 2 является числом иррациональным.