Для начала рассчитаем значение $\cos (15°)$:

$\cos (15°)=\cos (45°-30°)=\cos (45°)\cos (30°)+\sin (45°)\sin (30°)$

$\cos (45°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (30°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (45°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (30°)=\frac{1}{2}$

Подставим значения:

$\cos (15°)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим значение $\cos (15°)$ в уравнение:

$2{\cos }^2(15°)-1=2{\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)}^2-1$

$2\left(\frac{6+2\sqrt{12}+2}{16}\right)-1$

$\frac{2\cdot 6+4\sqrt{12}+4}{16}-1$

$\frac{12+4\sqrt{12}+4}{16}-1$

$\frac{16+4\sqrt{12}}{16}-\frac{16}{16}$

$\frac{16+4\sqrt{12}-16}{16}$

$\frac{4\sqrt{12}}{16}$

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

$\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}{4}$

$\frac{2\sqrt{3}}{4}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}-1$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}-1$