Для нахождения производной данной функции f(x) = x^2 - 3x^4 + \frac{1}{x} - \sqrt{x} необходимо найти производные каждого компонента по отдельности.

f'(x) = (x^2)' - (3x^4)' + (\frac{1}{x})' - (\sqrt{x})'

Теперь найдем производные каждого компонента:

(x^2)' = 2x
(3x^4)' = 3 * 4x^3 = 12x^3
(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}
(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}

Теперь подставим найденные производные в исходное выражение:

f'(x) = 2x - 12x^3 - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}