Для нахождения объёма правильной четырёхугольной пирамиды воспользуемся формулой:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания пирамиды, а h - высота, опущенная из вершины пирамиды на основание.

Дано, что апофема (радиус вписанной окружности, проведенной в одном из треугольников боковых граней) равна 3√2. Так как основание четырёхугольной пирамиды - это четырехугольник, то радиус находим как диагональ квадрата:

r = (a/2) * √2,

где a - сторона основания квадрата.

Так как a = 2r/√2, то a = 2 * 3√2 / √2 = 6.

Далее, найдем площадь основания пирамиды:

S = a^2 = 6^2 = 36.

Для нахождения высоты найдем диагональ квадрата:

h = √(a^2 + a^2) = √(6^2 + 6^2) = √72 = 6√2.

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) S h = (1/3) 36 6√2 = 72√2.

Ответ: объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 72√2.