Решение уравнения 6sin2 x + 11sin x + 4 = 0:

Данное уравнение можно решить, рассматривая его как квадратное уравнение относительно sin x.

Получаем sin x = (-11 ± √(11² - 464)) / (2*6)
sin x = (-11 ± √(121 - 96)) / 12
sin x = (-11 ± √25) / 12

1) sin x = (-11 + 5) / 12 = -6 / 12 = -1/2
x = arcsin(-1/2) = -π/6

2) sin x = (-11 - 5) / 12 = -16 / 12 = -4/3
Но такое значение sin x не существует, значит, первое решение x = -π/6.

Ответ: x = -π/6.

Решение уравнения 4sin2 x – cos x + 1 = 0:

Преобразуем уравнение, используя формулу sin²x + cos²x = 1:
4(1 - cos²x) - cos x + 1 = 0
4 - 4cos²x - cos x + 1 = 0
-4cos²x - cos x + 5 = 0

Решаем получившееся квадратное уравнение относительно cos x:
D = (-1)² - 4(-4)5 = 1 + 80 = 81
cos x = (1 ± √81) / (-8)

1) cos x = (1 + 9) / (-8) = 10 / (-8) = -5 / 4
Но такое значение cos x не существует.

2) cos x = (1 - 9) / (-8) = -8 / (-8) = 1
x = arccos(1) = 0

Ответ: x = 0.

Решение уравнения 3sin²x + 11sin x cos x + 6cos²x = 0:

Преобразуем уравнение, используя формулы двойного угла:
3sin²x + 11sin x cos x + 6cos²x = 0
3sin²x + 11/2sin 2x + 6cos²x = 0

Разложим sin 2x по формуле двойного угла:
3sin²x + 11/2 * 2sin x cos x + 6cos²x = 0
3sin²x + 11sin x cos x + 6cos²x = 0

Получаем уравнение 3sin²x + 11sin x cos x + 6cos²x = 0, которое совпадает с исходным уравнением.

Решение данного уравнения уже было рассмотрено выше.

Ответ: x = -π/6.