Докажем данное свойство, используя определение операции объединения множеств:

Для любого элемента x:
x принадлежит A объединение B (A v B) тогда и только тогда, когда x принадлежит A или x принадлежит B.

Теперь докажем равенство A v B = B v A:

Доказательство A v B включает B v A:
Пусть x принадлежит A v B. Это означает, что x принадлежит A или x принадлежит B. Но тогда x принадлежит B или x принадлежит A, что означает, что x принадлежит B v A.

Доказательство B v A включает A v B:
Пусть x принадлежит B v A. Это означает, что x принадлежит B или x принадлежит A. Но тогда x принадлежит A или x принадлежит B, что означает, что x принадлежит A v B.

Таким образом, мы доказали, что A v B = B v A для любых множеств A и B.