Предложите и обоснуйте метод для подсчёта числа целочисленных решений системы x + y + z = n, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, с дополнительным условием, что x ≤ k; обсудите связь с разделами и генератрисами
Предложите и обоснуйте метод для подсчёта числа целочисленных решений системы x + y + z = n, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, с дополнительным условием, что x ≤ k; обсудите связь с разделами и генератрисами
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
(n+22). \binom{n+2}{2}.
(2n+2 ). Число решений с нарушением ограничения x≤kx\le kx≤k (т.е. с x≥k+1x\ge k+1x≥k+1) равно числу решений для x′=x−(k+1)≥0x'=x-(k+1)\ge0x′=x−(k+1)≥0 в уравнении x′+y+z=n−(k+1)x'+y+z=n-(k+1)x′+y+z=n−(k+1), то есть
(n−k+12) \binom{n-k+1}{2}
(2n−k+1 ) (при n≥k+1n\ge k+1n≥k+1, иначе это 000). По включению-исключению получаем для общего случая (или положим m=min(k,n)m=\min(k,n)m=min(k,n))
Ответ=(n+22)−(n−k+12), \text{Ответ}=\binom{n+2}{2}-\binom{n-k+1}{2},
Ответ=(2n+2 )−(2n−k+1 ), или эквивалентно
Ответ=(m+1)(n+1)−m(m+1)2,m=min(k,n). \text{Ответ}=(m+1)(n+1)-\frac{m(m+1)}{2},\quad m=\min(k,n).
Ответ=(m+1)(n+1)−2m(m+1) ,m=min(k,n).
Метод 2 (породящие функции). Для xxx с ограничением ген. функция равна 1+t+⋯+tk=1−tk+11−t \;1+t+\dots+t^k=\dfrac{1-t^{k+1}}{1-t}\;1+t+⋯+tk=1−t1−tk+1 , для y,zy,zy,z — 11−t\dfrac{1}{1-t}1−t1 каждая. Общая ген. функция
1−tk+1(1−t)3. \frac{1-t^{k+1}}{(1-t)^3}.
(1−t)31−tk+1 . Число решений — коэффициент при tnt^ntn. Коэффициент при 1(1−t)3\dfrac{1}{(1-t)^3}(1−t)31 равен (n+22)\binom{n+2}{2}(2n+2 ), у вычитаемого члена — (n−k+12)\binom{n-k+1}{2}(2n−k+1 ), что даёт ту же формулу.
Связь с разделами (partitions). Наши решения — это слабые композиции (упорядоченные разбиения) числа nnn на 333 слагаемых. Разделы (неупорядоченные разбиения) считаются иначе; через породящие функции можно перейти к задачам о разделах: например, число разделов числа nnn не больше чем на 333 частей равно число разделов nnn с максимальной частью ≤3\le3≤3 (при помощи диаграмм Юнга и транспозиции). Породящие функции дают удобный общий аппарат для таких переходов и для учёта ограничений.