Кратко о главных подходах и о том, почему они различаются.
1) Классическое определение (Колмогоров)
- При $P(B)>0$: $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
- При $P(B)=0$ это неопределённо; в теории вводят условное ожидание/условную вероятность относительно σ‑алгебры $\mathcal{G}$: условная вероятность множества $A$ как случайная величина
$$P(A\mid \mathcal{G})=\mathbb{E}[1_A\mid \mathcal{G}],$$ определённая в смысле почти всюду (a.s.). Значение на множествах нулевой вероятности не фиксировано — только класс a.s. эквивалентных версий.
2) Регулярная условная вероятность / дизинтеграция (disintegration, RCP)
- Если пространство «хорошее» (обычно стандартное Борелево), то существует семейство мер $\{P_y\}$ такие, что для измеримых $A,B$ $$P(X\in A,Y\in B)={\int }_B{P}_y(A){\mu }_Y(dy).$$ Тогда для ${\mu }_Y$-почти всех $y$ определяют $P(X\in A\mid Y=y)=P_y(A)$. Это даёт точечные значения при «нулевых» одномерных событиях $\{Y=y\}$ только для a.e. $y$; для конкретного $y$ значение неуниверсально без дополнительных соглашений.
3) Подход через предельное условие (conditioning as limit)
- Задают $B_n$ с $P(B_n)>0$, $B_n\downarrow B$ и берут
$$P(A\mid B)=\underset{n\to \infty }{\lim }P(A\mid B_n),$$ если предел существует и не зависит от выбора последовательности. Такой подход интуитивен (оперативное приближение нулевого события) но не даёт единственности: разные приближения могут давать разные пределы (пример: парадокс Бореля — условная мера на сфере зависит от параметризации/приближения).
4) Плотности и условные плотности
- Если существует совместная плотность $f_{X,Y}(x,y)$ и маргинальная $f_Y(y)$, то формально
$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}.$$ При $f_Y(y)=0$ выражение не определено; однако при наличии регулярной версии условной плотности можно определить $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ для почти всех $y$. Для конкретного нулевого $y$ часто берут предел по окрестностям, но это снова зависит от способа предела.
5) Аксиоматические/другое: Поппер, Реньи, де Финетти и конечная аддитивность
- Поппер‑функции и Реньи‑пространства принимают условную вероятность $P(A\mid B)$ за примитив и вводят аксиомы, которые позволяют определять её и для $P(B)=0$. Это даёт более широкие, но неоднозначные возможности: дополнительные допущения (согласованность, однозначность) нужны для уникальности. Де Финетти использовал понятие когерентности (ставки), допускающее конечную аддитивность (а не σ‑аддитивность), что также меняет поведение при нулевых событиях.
Почему разные подходы и в чём принципиальная причина различий
- Неопределённость на множествах нулевой меры: при теории меры объекты задаются по равенству почти всюду, поэтому точечные значения на нулевых множествах не закреплены и могут быть изменены. Любое «определение» на таких множествах требует дополнительных соглашений.
- Топология/структура пространства: в стандартных Бореловых пространствах дизинтеграция существует и даёт естественные версии; в произвольных пространствах может не существовать.
- Операциональность vs. аксиоматичность: предельный/плотностной подходы удобны для прикладных задач; аксиоматические подходы пытаются формализовать условие для всех пар событий, но требуют жёстких допущений и дают неоднозначность.
- Инвариантность: некоторые способы (дизинтеграция в стандартых пространствах) дают инвариантное определение, другие (пределы/параметризации) — приводят к парадоксам зависимым от выбора координат.
Короткая сводка практикующему:
- Если работаете в стандартном вероятностном пространстве (например, с вещественными RV), пользуйтесь регулярной условной вероятностью / дизинтеграцией — она даёт «правильные» версии для почти всех значений.
- Для интерпретаций, требующих значения именно при конкретном нулевом событии, нужно явно указать способ определения (предел по окрестностям, выбор версии RCP, аксиоматизация типа Поппера и т. п.) и принять, что результат может зависеть от этого выбора.