Критерий Коши для последовательности комплексных чисел: последовательность $(z_n)\subset \mathbb{C}$ является фундаментальной (Коши), если
$$\forall \epsilon >0\exists N\forall m,n\ge N:|z_m-z_n|<\epsilon .$$ Смысл критерия: члены последовательности сплотятся друг к другу при больших номерах (расстояния между ними стремятся к нулю). Это критерий «внутренней сходимости» без указания предела.
Связь с сходимостью: в полном метрическом пространстве всякая Коши-последовательность сходится. Поскольку $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ — полные пространства, для них критерий Коши эквивалентен сходимости:
$$(z_n\text{Коши})⟺(z_n\text{сходится в}\mathbb{C}).$$
Компонентный вид (удобно для доказательств): пусть $z_n=x_n+i{y}_n$ с $x_n,y_n\in \mathbb{R}$. Тогда
$$|x_m-x_n|\le |z_m-z_n|,|y_m-y_n|\le |z_m-z_n|,$$ и
$$|z_m-z_n|\le |x_m-x_n|+|y_m-y_n|.$$ Отсюда $z_n$ Коши в $\mathbb{C}$ тогда и только тогда, когда $x_n$ и $y_n$ Коши в $\mathbb{R}$. Поскольку $\mathbb{R}$ полон, компоненты сходятся, и значит $z_n$ сходится.
Сравнение с критериями в $\mathbb{R}$:
- Критерий Коши формулируется одинаково и эквивалентен сходимости в обоих полных полях $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$.
- Многие тесты, основанные на метрике (неравенство треугольника, сходимость по компонентам, критерии сходимости рядов и т.д.) переносятся из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$.
- Но некоторые критерии, использующие порядок (монотонность), в $\mathbb{C}$ бессмысленны: в $\mathbb{R}$ верно правило «монотонная и ограниченная последовательность сходится», в $\mathbb{C}$ нет понятия «монотонности», поэтому этот приём неприменим.
Иллюстрирующие примеры:
1) Сходимая (и Коши) последовательность в $\mathbb{C}$:
$$z_n=1+\frac{i}{n}\Rightarrow z_n\to 1.$$ 2) Ограниченная, не сходящаяся и не Коши в $\mathbb{C}$:
$$z_n=e^{in}.$$ Точки лежат на единичной окружности и не сплачиваются, значит $(z_n)$ не Коши и не сходится.
3) Пример отличия в неполном пространстве: в множестве рациональных чисел $\mathbb{Q}$ существует Коши-последовательность, не имеющая предела в $\mathbb{Q}$, например рациональные приближения $q_n\to \sqrt{2}$. Аналогично в подмножестве $\mathbb{Q}(i)\subset \mathbb{C}$ можно иметь Коши-последовательности, не сходящиеся в этом подмножестве. Это показывает, что эквивалентность «Коши ⇔ сходится» зависит от полноты пространства.
Краткий вывод: критерий Коши в $\mathbb{C}$ имеет тот же смысл и ту же формулу, что и в $\mathbb{R}$; в полных пространствах ($\mathbb{R},\mathbb{C}$) он эквивалентен сходимости. Основное отличие — в $\mathbb{C}$ нельзя использовать порядковые (монотонные) критерии, но все метрические критерии остаются в силе.