Ответ: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$.
Доказательства.
1) Геометрическое (непосредственное неравенство на единичной окружности). Для $0<x<\pi /2$ на единичной окружности получается
$$\sin x<x<\tan x.$$ Разделив на $\sin x>0$ и взяв обратные, получаем
$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$ При $x\to 0+$ $\cos x\to 1$, значит по теореме о зажатой: ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sin x}{x}=1$. Для отрицательных $x$ выражение чётно: $\sin (-x)/(-x)=\sin x/x$, значит общий предел равен $1$. Комментарий: строгость зависит от принятого определения $\sin ,\tan$ (опирается на геометрию окружности), но это самый элементарный и интуитивный метод.
2) Ряд Тейлора / степенной ряд. Из известного разложения
$$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ получаем
$$\frac{\sin x}{x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}=1-\frac{x^2}{6}+\cdots .$$ При $x\to 0$ все члены с $x^{2n}$ исчезают, остаётся $1$, поэтому ${\lim }_{x\to 0}\sin x/x=1$. Комментарий: очень формальное и быстрое доказательство, но требует знания ряда Тейлора для $\sin$.
3) Через равномерную сходимость степенного ряда (обоснование перестановки предела и суммы). Для любого фиксированного $R>0$ ряд
$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}$$ сходится равномерно на $[-R,R]$ (по критерию Вейерштрасса с $M_n=\frac{R^{2n}}{(2n+1)!}$). Значит можно перейти к пределу по членам:
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\sum _{n=0}^{\infty }\underset{x\to 0}{\lim }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}=1.$$ Комментарий: строгий путь, использующий анализ рядов и равномерную сходимость, даёт чистое обоснование перестановки пределов и сумм.
4) Через производную (коротко). Поскольку $\sin$ дифференцируема в $0$ и $\cos 0=1$, имеем
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}=(\sin {)}^{\prime }(0)=\cos 0=1.$$ Комментарий: самый быстрый способ в курсе дифференцируемости, но он может быть круговым, если определение производной $(\sin {)}^{\prime }(0)$ опирается на вычисление именно этого предела; поэтому его допустимость зависит от базовой схемы построения тригонометрических функций и их производных.
5) Через правило Лопиталя. Так как форма $0/0$, то
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=1,$$ но это снова использует знание производной $\sin$ и потому эквивалентно предыдущему замечанию о возможной цикличности.
Сравнение строгости и удобства.
- Геометрическое доказательство: интуитивно и достаточно строго, если тригонометрические функции заданы геометрически; минимальная аппаратура, отлично для начального курса.
- Рядовое доказательство: формально строго при наличии теории степенных рядов; удобно и даёт точный асимптотический вид $\sin x=x+O(x^3)$.
- Доказательство через равномерную сходимость: наиболее строгая формальная запись перехода предела и суммы; требует знаний о равномерной сходимости и критериях (Weierstrass).
- Через производную / Лопиталь: очень удобно и кратко, но требует предварительного определения производной $\sin$ (возможна логическая цикличность).
Вывод: для школьного уровня — геометрическое; для анализа и точных асимптотик — рядовый или равномерная сходимость; для быстрых вычислений в курсе дифференциального исчисления — через производную/Лопиталь (при условии, что это не даёт циклического обоснования).