Кратко: исходное утверждение верно, но типичная ошибка в «доказательствах» — неверный переход вида «если $x^2$ рационально, то $x$ рационально» или «если $x^2+y^2$ рационально, то $x$ и $y$ рациональны». Оба таких перехода ложны.
Обоснование и исправление.
1) Корректное утверждение:
- Если $r,s\in \mathbb{Q}$, то $r^2,s^2\in \mathbb{Q}$ и поэтому
$$r^2+s^2\in \mathbb{Q}.$$ Это прямое следствие замкнутости рациональных чисел относительно умножения и сложения.
2) Ошибка в неверных обобщениях:
- Из $x^2\in \mathbb{Q}$ не следует, что $x\in \mathbb{Q}$. Контрпример: $x=\sqrt{2}$, тогда $x^2=2\in \mathbb{Q}$, но $x\notin \mathbb{Q}$.
- Из $x^2+y^2\in \mathbb{Q}$ также не следует, что $x,y\in \mathbb{Q}$. Контрпример: $x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}$ — оба иррациональны, но
$$x^2+y^2=2+2=4\in \mathbb{Q}.$$
3) Дополнительная формулировка (полезная и точная):
- «Сумма квадратов двух рациональных чисел всегда рациональна.»
- «Сумма квадратов двух иррациональных чисел может быть как рациональной, так и иррациональной» (примеры: рациональная — $(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=4$; иррациональная — например $x=\sqrt{2}+\sqrt{3},y=\sqrt{2}$, тогда $x^2+y^2=7+2\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}$).