Для интегрирования данного выражения, необходимо воспользоваться методом замены переменной.

Проведем замену переменной:
u = sin(x), тогда du = cos(x) dx

Теперь выражение примет вид:
∫u^3 √(1-u^2) du

Далее, проведем еще одну замену переменной:
v = u^2, тогда dv = 2u du

Интеграл примет вид:
(1/2) ∫v^(3/2) √(1-v) dv

Теперь выполняем интегрирование:
(1/2) (2/5) v^(5/2) (2/3) (1-v)^(3/2) + C
(1/5) v^(5/2) (1-v)^(3/2) + C

Подставляем обратные значения переменных:
(1/5) (sin(x))^5 (1-sin(x)^2)^(3/2) + C

Итак, интеграл ∫(cos(x))^(1/2) * (sin(x))^3 dx равен:
(1/5) (sin(x))^5 (1-sin(x)^2)^(3/2) + C, где C - произвольная постоянная.