Для решения данной задачи воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности вокруг треугольника, которая выражается по следующей формуле:

r = a b c / 4S,

где r - радиус описанной окружности,
a, b, c - стороны треугольника,
S - площадь треугольника.

Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона:

p = (10 + 12 + x) / 2 = 11 + x,
где x - третья сторона треугольника.
S = √(p (p - 10) (p - 12) * (p - x)).

Также инфомацию о угле между 10 см и 12 см преобразуем для нахождения третьей стороны:
cos(30°) = (10^2 + x^2 - 12^2) / (2 10 x),
0.866 = (100 + x^2 - 144) / (20x),
17.32x = 56 + x^2.

Затем найдем радиус описанной окружности:
r = 10 12 x / 4S.