a) Для доказательства перпендикулярности прямых BM и MN найдем векторы этих прямых и убедимся, что их скалярное произведение равно нулю.

Возьмем в качестве начала координат точку A. Тогда координаты точек M и N будут равны (1/2, 0, 0) и (1/2, 0, 1), соответственно. Тогда векторы (\overrightarrow{BM} = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)) и (\overrightarrow{MN} = \left(0, 0, 1\right)).

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов: (\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{MN} = \left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) + (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) = 0 + 0 + 0 = 0).

Таким образом, прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Угол между плоскостями BMN и ABB1 можно найти через скалярное произведение векторов нормалей к этим плоскостям.

Найдем векторы нормали к плоскостям BMN и ABB1. Для этого найдем векторные произведения векторов, лежащих в плоскостях.

(\overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{MN} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ \frac{1}{2} & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \left(\vec{j} - \vec{i}\right)), то есть (\overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{MN} = (-1, 1, 0)).

(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BB1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \left(0, 0, 1\right)).

Теперь найдем косинус угла между этими векторами: (\cos \theta = \frac{\overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BB1}}{|\overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BB1}|}).

Подставив найденные значения и вычислив скалярное произведение и длины векторов, получим значение угла между плоскостями BMN и ABB1.