Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться теоремой Лебега о дифференцируемости почти всюду.

Пусть у нас есть монотонная непрерывная функция f(x). Мы знаем, что такая функция может иметь только счетное количество точек разрыва первого рода.

Поскольку функция монотонная, то она имеет пределы справа и слева в каждой точке. Поэтому можно построить множество точек, в которых функция не дифференцируема, и это множество будет иметь нулевую меру по мере Лебега. Таким образом, по теореме Лебега, монотонная непрерывная функция дифференцируема почти всюду.

Поэтому, чтобы доказать, что монотонная непрерывная функция дифференцируема почти всюду, достаточно показать, что множество точек, в которых функция не диффренцируема, имеет нулевую меру.