Для упрощения этого выражения воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

ctg²(t) = 1/(tan²(t)) = 1/(sin²(t) / cos²(t)) = cos²(t)/sin²(t)sin²(t) = 1 - cos²(t)

Теперь подставим эти тождества в исходное выражение:

ctg²(t) - (sin²(t) - 1) = cos²(t)/sin²(t) - (1 - cos²(t))
= cos²(t)/sin²(t) - 1 + cos²(t)
= cos²(t)/sin²(t) + cos²(t) - 1
= cos²(t)/sin²(t) + cos²(t) - sin²(t)
= (cos²(t) + sin²(t))/sin²(t)
= 1/sin²(t)
= csc²(t)

Ответ: csc²(t)