Площадь боковой поверхности цилиндра равна разности между площадью вписанной в призму плоскости и площадью боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна Sп = 1/2 osn p,
где osn - периметр основания пирамиды, p - апофема пирамиды.

Известно, что пирамида – правильная трехугольная, значит, площадь основания пирамиды равна Sосн = a^2 √3 / 4.
Также a = 12 / tg 30 = 12 2 / √3 = 8√3 см.

Sосн = 8√3 8√3 √3 / 4 = 192 см^2.

По формуле площадь Sправ = Sбок + Sосн,
Sправ = p osn / 2 + Sосн,
где p - периметр окружности, описанной около вписанного цилиндра, который равен периметру основания пирамиды, osn = 3a = 3 8√3.

Sправ = 3 8√3 8√3 / 2 + 192 = 336 см^2.

Ответ: площадь боковой поверхности вписанного цилиндра равна 336 см^2.