Для начала найдем меньшую сторону прямоугольника, используя теорему Пифагора:

$a^2+b^2=c^2$,

где a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза.

Из условия известно, что c = 7√3 дм, а также данны угол между диагональю и краткой стороной равен 60 градусов, из чего следует, что треугольник, образованный диагональю и сторонами прямоугольника, равнобедренный.

Таким образом, $a=b$. Пусть $a=b=x$.

Тогда имеем:

$x^2+x^2=(7\sqrt{3}{)}^2$,

$2x^2=147$,

$x^2=73.5$,

$x\approx 8.57\text{см}$.

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника составляет приблизительно 8.57 дм.

Для определения площади прямоугольника умножим большую и меньшую стороны:

$10.5\times 8.57\approx 89.99{\text{дм}}^2$.

Итак, получаем, что меньшая сторона прямоугольника составляет примерно 8.57 дм, а площадь прямоугольника составляет около 89.99 квадратных дециметров.