Для решения данной задачи, найдем сначала боковую грань усеченной пирамиды.

По теореме Пифагора:
[a^2 = c^2 - h^2], где (a) - половина разности оснований (10 - 6)/2 = 2,
(c) - длина боковой грани, (h) - высота боковой грани.

Подставляя значения, получаем:
[2^2 = c^2 - (3\sqrt{3})^2],
[4 = c^2 - 9*3 = c^2 - 27],
[c^2 = 4 + 27 = 31],
[c = \sqrt{31}].

Теперь найдем площадь поверхности пирамиды по формуле:
[S = \frac{1}{2} (a_1 + a_2) l + a_1^2 + a_2^2], где (a_1, a_2) - стороны основания, (l) - длина боковой грани.

Подставляя значения, получаем:
[S = \frac{1}{2} (6 + 10) \sqrt{31} + 6^2 + 10^2],
[S = 8\sqrt{31} + 36 + 100],
[S = 8\sqrt{31} + 136 \approx 168,6].

Таким образом, площадь поверхности правильной усечённой пирамиды равна примерно 168,6.