Данное уравнение не имеет аналитического решения в общем виде, однако мы можем найти его численное решение с помощью метода Ньютона.

Предположим, что мы хотим найти корни этого уравнения в пределах (0;π/2). Зададим начальное приближение для x и y, например, x = 0.5, y = 1.0.

Запишем уравнение sin(x) + sin(y) - sin(xy) = 0.Найдем частные производные этого уравнения по x и y:

∂/∂x (sin(x) + sin(y) - sin(xy)) = cos(x) - ycos(xy)
∂/∂y (sin(x) + sin(y) - sin(xy)) = cos(y) - xcos(xy)

Применим метод Ньютона для нахождения корней уравнения:

x₁ = x₀ - f(x₀, y₀) / (f_x(x₀, y₀) + f_y(x₀, y₀) g(x₀, y₀)),
y₁ = y₀ - f(y₀, x₀) / (f_y(y₀, x₀) + f_x(y₀, x₀) g(y₀, x₀)),

где f(x, y) = sin(x) + sin(y) - sin(xy),
f_x(x, y) = cos(x) - ycos(xy),
f_y(x, y) = cos(y) - xcos(xy),
g(x, y) = xsin(xy) + ysin(xy).

Повторим шаги 3 для получения приближенного решения уравнения.

После нескольких итераций метода Ньютона, мы получим численное решение уравнения sin(x) + sin(y) = sin(xy) для заданных начальных значений x и y в интервале (0;π/2).