Данное уравнение не имеет решения для произвольных натуральных чисел m, n и простого числа p.

Предположим, что такое решение существует. Тогда мы можем заметить, что левая часть уравнения m^p - 1 должна быть кратна p, так как n! + p - 1 также кратно p. Это означает, что m^p - 1 должна быть кратна p, что возможно только при условии, что m кратно p.

С другой стороны, правая часть уравнения n! + p не может быть кратна p, так как факториал n всегда не кратен простому числу p. Это противоречие подтверждает, что уравнение m^p = n! + p не имеет решений для произвольных натуральных чисел m, n и простого числа p.