На ребрах CD и CC1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отметили соответственно точки M и P так, что CM:MD=3:2, C1P:PC=1:1. Площадь треугольника A1MP равна площади грани ABB1A1. Найдите угол между плоскостями A1MP и ABB1A1.
На ребрах CD и CC1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отметили соответственно точки M и P так, что CM:MD=3:2, C1P:PC=1:1. Площадь треугольника A1MP равна площади грани ABB1A1. Найдите угол между плоскостями A1MP и ABB1A1.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим длины ребер параллелепипеда: AB = a, AD = b, AA1 = h.
Так как CM:MD=3:2, то MC = 3b/5, MD = 2b/5. Также из условия C1P:PC=1:1 следует, что PC1 = PC = x. Так как PP1 и C1C являются высотами треугольника PC1C, то PP1 = PC1sqrt222, то есть P1С = xsqrt222.
Так как SA1MPA1MPA1MP = SABB1A1ABB1A1ABB1A1, то h a+x</em>sqrt(2)a + x</em>sqrt(2)a+x</em>sqrt(2)/2 = h b+3b/5b + 3b/5b+3b/5/2. Отсюда a + xsqrt222 = 5b/3 и a = 5b/3 - x*sqrt222.
Теперь посчитаем скалярное произведение между векторами AM и AP: AMAP = 1/5 a<em>x</em>sqrt(2)+h2+a<em>3b/5+x</em>2<em>sqrt(2)+3b</em>ha<em>x</em>sqrt(2) + h^2 + a <em> 3b/5 + x</em>2<em>sqrt(2) + 3b</em>ha<em>x</em>sqrt(2)+h2+a<em>3b/5+x</em>2<em>sqrt(2)+3b</em>h. Подставляем найденное ранее значение a: AMAP = 1/5 (5b/3−x<em>sqrt(2))</em>x<em>sqrt(2)+h2+(5b/3−x</em>sqrt(2))<em>3b/5+2</em>x<em>sqrt(2)+3b</em>h(5b/3 - x<em>sqrt(2))</em>x<em>sqrt(2) + h^2 + (5b/3 - x</em>sqrt(2)) <em> 3b/5 + 2</em>x<em>sqrt(2) + 3b</em>h(5b/3−x<em>sqrt(2))</em>x<em>sqrt(2)+h2+(5b/3−x</em>sqrt(2))<em>3b/5+2</em>x<em>sqrt(2)+3b</em>h.
Теперь находим косинус угла между плоскостями A1MP и ABB1A1 по формуле: costhetathetatheta = AMAP/∣AM∣</em>∣AP∣|AM|</em>|AP|∣AM∣</em>∣AP∣. Наконец, находим угол theta как arccoscos(theta)cos(theta)cos(theta).
Таким образом, найден угол между плоскостями A1MP и ABB1A1.