Для начала найдем частные производные функции z=3x^3+3y^3-9xy+10 по переменным x и y:

dz/dx = 9x^2 - 9y
dz/dy = 9y^2 - 9x

Теперь найдем полный дифференциал первого порядка:

dz = (dz/dx)dx + (dz/dy)dy
dz = (9x^2 - 9y)dx + (9y^2 - 9x)dy

Далее найдем частные производные dz/dx и dz/dy и после этого посчитаем полный дифференциал второго порядка.

dz/dx = d/dx(9x^2 - 9y) = 18x
dz/dy = d/dy(9y^2 - 9x) = 18y

Полный дифференциал второго порядка:

d^2z = (d^2z/dx^2) dx^2 + (d^2z/dy^2) dy^2 + (d^2z/dxdy) dxdy
d^2z = 18dx^2 + 18dy^2

Теперь исследуем функцию на точки экстремума. Для этого найдем стационарные точки, приравняв частные производные к нулю:

dz/dx = 9x^2 - 9y = 0
dz/dy = 9y^2 - 9x = 0

Из первого уравнения получаем x^2 = y, а из второго y^2 = x. Подставим y = x^2 в уравнение y^2 = x:

(x^2)^2 = x
x^4 = x
x^4 - x = 0
x(x^3 - 1) = 0
x(x-1)(x^2+x+1) = 0

Отсюда получаем три решения: x=0, x=1, x=(-1±i√3)/2. Соответственно, найдем значения y: при x=0 получаем y=0, при x=1 получаем y=1, при x=-1±i√3/2 получаем y=1/2(±i√3-1).

Таким образом, точки экстремума функции z=3x^3+3y^3-9xy+10 следующие:

(0,0)(1,1)(-1+i√3/2, 1/2(i√3-1))(-1-i√3/2, 1/2(-i√3-1))

Для каждой найденной точки можно использовать критерий Сильвестра для определения их типа (минимум, максимум или седловая точка).