Радиус шара, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, равен половине высоты пирамиды. Для нахождения этой высоты построим прямоугольный треугольник, в котором катетами будут половина стороны основания и радиус шара, а гипотенуза - высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то угол между радиусом и стороной основания составляет 45 градусов.

По теореме Пифагора:
(радиус шара)^2 + (2^(3/2))^2 = 4^2
(радиус шара)^2 + 4*2 = 16
(радиус шара)^2 = 8
радиус шара = √8 = 2√2

Умножим радиус на 2:
Радиус шара 2 = 2√2 2 = 4√2

Ответ: 4√2.