Короткий ответ: утверждение верно при обычных предположениях (мера σ‑аддитивна, множество с «нулевой мерой» — измеримо, открытые множества измеримы). Контрприментов в стандартной теории (Лебегова мера и её завершение, внешняя мера и т. п.) нет. Ниже — пояснение и обсуждение тонкостей.

Доказательство в общем виде:

Пусть ((X,\mathcal M,\mu)) — пространство с мерой, (E\in\mathcal M) и (\mu(E)=0). Тогда для любого измеримого множества (A\in\mathcal M) имеем
[
E\cap A\subset E,
]
и вследствие монотонности меры
[
\mu(E\cap A)\le\mu(E)=0.
]
Значит (\mu(E\cap A)=0). В частности, если (U) — открытое множество и (U\in\mathcal M) (в Лебеговой теории это верно), то (\mu(E\cap U)=0). Следовательно невозможно, чтобы измеримое множество нулевой меры пересекало каждую непустую открытую область по множеству положительной меры.

Тонкости и «псевоконтрпримеры»:

Если слово «мера» или «множество с нулевой мерой» используется нестрого (например, берут неполную σ‑алгебру, и рассматривают подмножество нулевого множества, которое само не измеримо в данной σ‑алгебре), то формулировка может вводить в заблуждение: непроизвольное подмножество нулевого измеримого множества может не принадлежать исходной σ‑алгебре (пример — не‑борелевы подмножества Канторова множества при рассмотрении Лебеговой меры, ограниченной до борелевской σ‑алгебры). Но это не контрпример к утверждению выше, потому что у такого подмножества просто не определена мера в данной σ‑алгебре.Если вместо σ‑аддитивной меры взять какие‑то конечноприлагательные (не σ‑аддитивные) «меры» на всех подмножествах или иные экзотические функционалы, поведение может быть необычным; тогда возможны примеры, которыми формальное утверждение не покрывается — но это уже выход за рамки стандартной теории меры.

Итог: при обычных предположениях (измеримое множество, σ‑аддитивная мера, открытые множества измеримы, либо работа с внешней мерой) утверждение верно. Любые кажущиеся «контрпримеры» возникают только при нарушении условий (неизмеримые множества, неполная σ‑алгебра или иные нестандартные определения «меры»).