Пример: (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x)=x^2).

Почему (f) непрерывна, но не равномерно непрерывна:

(f) непрерывна на (\mathbb{R}) (полиномиальная функция).Для равномерной непрерывности нужно: для любого (\varepsilon>0) существует (\delta>0) такое, что для всех (x,y\in\mathbb{R}) выполнение (|x-y|<\delta) влечёт (|f(x)-f(y)|<\varepsilon). Возьмём (\varepsilon=1) и последовательности
[
x_n=n,\qquad y_n=n+\frac{1}{n}.
]
Тогда (|x_n-y_n|=\frac{1}{n}\to 0), но
[
|f(x_n)-f(y_n)|=\left|n^2-\left(n+\frac{1}{n}\right)^2\right|=2+\frac{1}{n^2}\to 2,
]
поэтому не существует общего (\delta) гарантирующего (|f(x)-f(y)|<1) при всех (x,y) с (|x-y|<\delta). Следовательно, (f) не равномерно непрерывна.

Почему критерий «непрерывность на компакте» здесь неприменим:

Теорема Хайне–Кантора: любая непрерывная функция на компактном множестве равномерно непрерывна. Но (\mathbb{R}) не компактно (неограничено), значит условие теоремы не выполнено и её вывод нельзя применять к (f) на всей (\mathbb{R}).

Какие дополнительные свойства обеспечили бы равномерную непрерывность:

Если бы область определения была компактна, например (f) на отрезке ([a,b]), то по Хайне–Кантору (f) была бы равномерно непрерывна.Липшицевость: если существует (L<\infty) с (|f(x)-f(y)|\le L|x-y|) для всех (x,y), то (f) равномерно непрерывна. В частности, если (f) дифференцируема на (\mathbb{R}) и (\sup_{x\in\mathbb{R}}|f'(x)|<\infty), то (f) липшицева и потому равномерно непрерывна. Для (f(x)=x^2) производная (2x) неограниченна, поэтому этот критерий не выполняется.Бóльшие общие условия: непрерывность на любом компактном (или вообще тотально ограниченном) подмножестве; объединение конечного числа множеств, на каждом из которых функция равномерно непрерывна, и т.п.

Кратко: (f(x)=x^2) — стандартный пример: непрерывна на (\mathbb{R}), но не равномерно непрерывна, потому что область не компактна и производная не ограничена; равномерность обеспечивается компактностью области или дополнительными свойствами вида липшицевости (ограничённый производный).