Рассмотрим уравнение
[
y'=\frac{2xy+y^2}{x^2}= \frac{2y}{x}+\frac{y^2}{x^2}.
]

1) Метод прямого разделения переменных в исходных переменных не применим (правая часть не представляется в виде функции только от (x) умноженной на функцию только от (y)).

2) Замена (y=xv). Пусть (y=xv(x)). Тогда
[
y'=v+xv',
]
подстановка даёт
[
v+xv'=2v+v^2 \quad\Rightarrow\quad x v' = v+v^2.
]
Это уравнение разделяющееся:
[
\frac{dv}{v(1+v)}=\frac{dx}{x}.
]
Интегрируя,
[
\ln\left|\frac{v}{1+v}\right|=\ln|x|+C_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{v}{1+v}=C_2 x.
]
Отсюда
[
v=\frac{C_2 x}{1-C_2 x},\qquad y=xv=\frac{C_2 x^2}{1-C_2 x}.
]
Переобозначим константу (C=\tfrac{1}{C_2}) и получим общий вид
[
y=\frac{x^2}{C-x}.
]
Кроме того, при (C_2=0) получаем тривиальное решение (y\equiv0).

3) Приведение к линейному уравнению (Бернулли). Наша запись
[
y'-\frac{2}{x}y=\frac{1}{x^2}y^2
]
— уравнение Бернулли с (n=2). Подстановка (z=1/y) даёт линейное уравнение
[
z'+\frac{2}{x}z=-\frac{1}{x^2},
]
интегрирующий множитель (x^2) даёт ((x^2 z)'=-1), отсюда (z=-\frac{1}{x}+\frac{C}{x^2}) и снова
[
y=\frac{1}{z}=\frac{x^2}{C-x}.
]

4) Особенности в нуле. Точка (x=0) — сингулярная (коэффициенты исходного уравнения содержат (x^{-2})), поэтому теорема существования и единственности не применима через (x=0). Формула решения при (C\neq0) даёт предельное значение (y(0)=0), но это не гарантирует, что решение можно продолжить через (0) в смысле удовлетворения дифференциального уравнения в нуле (в нуле уравнение не задано). Тривиальное решение (y\equiv0) определено везде и действительно. Для начальной точки (x_0\neq0) решение единственно и задаётся выше формулой на интервале, не содержащем точек (x=0) и (x=C).

Вывод: наиболее естественна замена (y=xv) (или эквивалентная схема Бернулли), приводящая к разделяющемуся уравнению; обобщённый интеграл
[
y=\frac{x^2}{C-x}
]
(и (y\equiv0)) — общее решение на интервалах, не пересекающих сингулярную точку (x=0) или точку разрыва (x=C).