В доказательстве комбинаторической тождественности C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1) представлен геометрический аргумент с раскраской и разбиением множества; проанализируйте это доказательство, укажите все скрытые предположения и предложите альтернативные доказательства (алгебраические, индукционные), сравните их преимущества.
Возьмём множество из (n) различных элементов и пометим некоторый фиксированный элемент, скажем (a).Разобьём все (k)-элементные подмножества множества на два непересекающихся класса: те, которые не содержат (a), и те, которые содержат (a).Подмножества без (a): выбираем (k) элементов из оставшихся (n-1) (\Rightarrow) их количество (\binom{n-1}{k}).Подмножества с (a): помимо (a) нужно выбрать ещё (k-1) из (n-1) (\Rightarrow) их количество (\binom{n-1}{k-1}).Поскольку разбиение полно и классы не пересекаются, общее число (\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}).
2) Скрытые (явно не оговорённые) предположения в этом аргументе
Элементы множества различимы (иначе понятие «содержит (a)» бессмысленно).(n) и (k) — целые, (0\le k\le n). (При выходе за диапазон обычно принимают (\binom{n}{k}=0).)Под «выбором» понимаются неупорядоченные подмножества (комбинации), т.е. порядок неважен.Разбиение действительно покрывает все варианты (полнота) и классы не пересекаются (дизъюнктность); это нужно явно заметить, чтобы избежать двойного счёта.Правило суммы числа элементов дизъюнктного разбиения применимо (аддитивность счёта конечных множеств).Неявно предполагается, что фиксирование элемента (a) не влияет на симметрию (выбор любого другого элемента даст ту же формулу).
4) Доказательство через производящие функции / бином Ньютона Рассмотрим разложение: [ (1+x)^n=(1+x)(1+x)^{n-1}. ] Коэффициент при (x^k) слева равен (\binom{n}{k}); справа он равен сумме коэффициентов при (x^k) и при (x^{k-1}) в ((1+x)^{n-1}), т.е. [ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}. ]
5) Индуктивное доказательство (по (n)) База: при (n=0) или (n=1) очевидно. Предположим, что для (n-1) формула верна для всех (k). Снова применяем комбинаторный приём (фиксируем элемент (a)) или выполняем алгебраическую проверку факториалов, как в пункте 3; это даёт переход от (n-1) к (n). (Можно также проводить индукцию по (k).)
6) Сравнение подходов — преимущества и недостатки
Комбинаторное (геометрическое/раскраска): очень наглядно, даёт интерпретацию тождества и объясняет, почему рекурсия возникает; минимально требует алгебры. Недостаток: требует явного проговаривания предположений (непересекаемость, полнота).Алгебраическое (факториалы): коротко и строго при заданной формуле для (\binom{n}{k}); удобно в вычислениях. Но даёт меньше интуиции о смыслe формулы.Производящие функции / бином Ньютона: элегантно связывает с аналитическими свойствами и полезно при обобщениях; предполагает знакомство с разложением многочленов.Индукция: подчёркивает рекурсивную структуру и пригодна для формального доказательства, но часто сводится либо к комбинаторическому аргументу, либо к алгебраической проверке факториалов.
Резюме: геометрико‑раскраcочный аргумент прост и информативен, но скрывает стандартные предположения о природе выбора и о дисъюнктности разбиения; для строгости и обобщений хорошо иметь рядом алгебраическое или производящефункциональное доказательство, а индукция формализует рекурсию.
Коротко опишу геометрико‑раскраcочный аргумент, перечислю все скрытые предположения и предложу альтернативы с их преимуществами.
1) Суть геометрического (комбинаторного) доказательства
Возьмём множество из (n) различных элементов и пометим некоторый фиксированный элемент, скажем (a).Разобьём все (k)-элементные подмножества множества на два непересекающихся класса: те, которые не содержат (a), и те, которые содержат (a).Подмножества без (a): выбираем (k) элементов из оставшихся (n-1) (\Rightarrow) их количество (\binom{n-1}{k}).Подмножества с (a): помимо (a) нужно выбрать ещё (k-1) из (n-1) (\Rightarrow) их количество (\binom{n-1}{k-1}).Поскольку разбиение полно и классы не пересекаются, общее число (\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}).2) Скрытые (явно не оговорённые) предположения в этом аргументе
Элементы множества различимы (иначе понятие «содержит (a)» бессмысленно).(n) и (k) — целые, (0\le k\le n). (При выходе за диапазон обычно принимают (\binom{n}{k}=0).)Под «выбором» понимаются неупорядоченные подмножества (комбинации), т.е. порядок неважен.Разбиение действительно покрывает все варианты (полнота) и классы не пересекаются (дизъюнктность); это нужно явно заметить, чтобы избежать двойного счёта.Правило суммы числа элементов дизъюнктного разбиения применимо (аддитивность счёта конечных множеств).Неявно предполагается, что фиксирование элемента (a) не влияет на симметрию (выбор любого другого элемента даст ту же формулу).3) Алгебраическое доказательство (через факториалы)
Пишем определения:
[
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad
\binom{n-1}{k}=\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!},\qquad
\binom{n-1}{k-1}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}.
]
Проверим сумму:
[
\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}
=\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}.
]
Вынесем общий множитель (\dfrac{(n-1)!}{k!(n-k)!}):
[
=\frac{(n-1)!}{k!(n-k)!}\Big( (n-k)+k \Big)
=\frac{(n-1)!}{k!(n-k)!}\cdot n
=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k}.
]
4) Доказательство через производящие функции / бином Ньютона
Рассмотрим разложение:
[
(1+x)^n=(1+x)(1+x)^{n-1}.
]
Коэффициент при (x^k) слева равен (\binom{n}{k}); справа он равен сумме коэффициентов при (x^k) и при (x^{k-1}) в ((1+x)^{n-1}), т.е.
[
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}.
]
5) Индуктивное доказательство (по (n))
База: при (n=0) или (n=1) очевидно. Предположим, что для (n-1) формула верна для всех (k). Снова применяем комбинаторный приём (фиксируем элемент (a)) или выполняем алгебраическую проверку факториалов, как в пункте 3; это даёт переход от (n-1) к (n). (Можно также проводить индукцию по (k).)
6) Сравнение подходов — преимущества и недостатки
Комбинаторное (геометрическое/раскраска): очень наглядно, даёт интерпретацию тождества и объясняет, почему рекурсия возникает; минимально требует алгебры. Недостаток: требует явного проговаривания предположений (непересекаемость, полнота).Алгебраическое (факториалы): коротко и строго при заданной формуле для (\binom{n}{k}); удобно в вычислениях. Но даёт меньше интуиции о смыслe формулы.Производящие функции / бином Ньютона: элегантно связывает с аналитическими свойствами и полезно при обобщениях; предполагает знакомство с разложением многочленов.Индукция: подчёркивает рекурсивную структуру и пригодна для формального доказательства, но часто сводится либо к комбинаторическому аргументу, либо к алгебраической проверке факториалов.Резюме: геометрико‑раскраcочный аргумент прост и информативен, но скрывает стандартные предположения о природе выбора и о дисъюнктности разбиения; для строгости и обобщений хорошо иметь рядом алгебраическое или производящефункциональное доказательство, а индукция формализует рекурсию.