Для начала покажем, что отображение f является гомоморфизмом. Пусть A и B - два собственных подобия, их комплексные коэффициенты будут обозначаться как a и b соответственно.
Тогда f$A<em>B$ = f$композицияподобийAиB$ = f$A$f$B$ = ab, так как комплексные числа умножаются в случае композиции подобий.
Таким образом, f является гомоморфизмом.

Покажем, что f является сюръективным гомоморфизмом. Возьмем произвольное комплексное число z = |z|*e^$i\theta$, где |z| - модуль числа z, θ - его аргумент.
Построим подобие с коэффициентом z: A$z$ - это подобие, которое умножает отрезок на |z| и поворачивает его на угол θ.
Тогда f$A(z)$ = z, так как комплексный коэффициент подобия A$z$ равен z.
Это означает, что каждому комплексному числу можно сопоставить собственное подобие из G, значит f - сюръективный.

Докажем, что f обладает универсальным свойством. Пусть дано отображение g из G в некоторую абелеву группу.
Построим отображение π из комплексных чисел в данную абелеву группу следующим образом: π$z$ = g$A(z)$, где A$z$ - подобие с комплексным коэффициентом z.
Тогда очевидно, что g = π после f, так как для любого комплексного числа z верно, что g$A(z)$ = gf$A(z)$ = gf$z$.
Таким образом, f обладает универсальным свойством.

Таким образом, мы показали, что отображение f - сюръективный гомоморфизм из неабелевой группы G в некоторую абелеву группу, и что оно обладает универсальным свойством.