Для доказательства данного утверждения обозначим основания трапеции как a и b, а высоту как h.

Докажем, что отрезок, соединяющий середины оснований, делит трапецию на две равные по площади части.

Площадь трапеции равна S = (a + b) * h / 2.

Проведем отрезок, соединяющий середины оснований и обозначим его длину как с.

Таким образом, получаем две трапеции: одна со сторонами a, b, c и h1, где h1 - высота данной трапеции, а вторая со сторонами c, c, b и h2, где h2 - высота этой трапеции.

Площади данных трапеций будут равны S1 = (a + c) h1 / 2 и S2 = c h2 / 2.

Так как точка, соединяющая середины оснований, делит трапецию на две равные по площади части, то S1 = S2.

(a + c) h1 / 2 = c h2 / 2.

Так как h1 = h/2 и h2 = h/2, подставляем значения:

(a + c) h / 4 = c h / 4.

Получаем: a + c = c.

Отсюда следует, что a = 0, что противоречит начальным условиям, так как a - это одно из оснований трапеции.

Таким образом, доказано, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит ее на две равные по площади части.