Для решения этой задачи нам нужно применить теорему о трёх касательных.

Из условия задачи мы знаем, что отрезки АМ и АК - касательные, проведенные из точки А к окружности. Также известно, что АВ и ВС - секущие отрезки, ведущие через внешнюю точку А.

Согласно теореме о трёх касательных, секущие, проведенные через внешнюю точку к окружности, обладают свойством разности квадратов длин отрезков, получаемых при их пересечении с окружностью равна произведению длин этих отрезков.

Таким образом, мы можем записать:

ABBC = AM^2
AB(2AB) = 4^2
2AB^2 = 16
AB^2 = 8
AB = √8 = 2√2

Теперь мы знаем длину отрезка АВ. Для нахождения длины отрезка ВС, воспользуемся тем, что у нас дано, что отношение длин AB к ВС равно 2 к 4, то есть 1 к 2.

AB/BC = 2/4
2√2/BC = 1/2
BC = 4√2

Итак, длина отрезка АВ равна 2√2, а длина отрезка ВС равна 4√2.