Для начала найдем косинус угла A.

Мы знаем, что sin(A) = CH / AC, следовательно:
AC = CH / sin(A)

Так как sin(A) = 5/13, то AC = CH / (5/13) = 13CH / 5

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH.
В нем косинус угла A равен AC / AH, то есть:
cos(A) = AC / AH

Так как косинус угла A равен AC / (AC^2 + CH^2)^0.5, то мы можем записать:
AC / (AC^2 + CH^2)^0.5 = 13CH / 5

Теперь можно решить это уравнение относительно отношения AC к CH:
AC^2 / (AC^2 + CH^2) = 169CH^2 / 25

Разделим обе части уравнения на CH^2:
AC^2 / CH^2 / (AC^2 / CH^2 + 1) = 169 / 25
AC / CH / (AC / CH)^2 + 1 = 169 / 25
(AC / CH)^3 = 169 / 25
AC / CH = (169 / 25)^1/3
AC / CH = 13 / 5

Итак, соотношение AC к CH в треугольнике ABC равно 13 : 5.